Пособие по интегрированию

Пособие по интегрированию

Идея численного интегрирования предельно проста и вытекает из геометрического смысла определенного интеграла – значение определенного интеграла численно равно площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), осью абсцисс и прямыми х=а, х=b. Находя приближенно площадь криволинейной трапеции, мы получаем значение интеграла. Формально процедура численного интегрирования заключается в том, что отрезок [а, b] разбивается на n частичных отрезков, а затем подинтегральная функция заменяется на нем легко интегрируемой функцией, по определенной зависимости интерполирующей значения подинтегральной функции в точках разбиения. Рассмотрим теперь простейшие из численных методов интегрирования.

Итак, функция у=f(x) интегрируема на сегменте [a,b] и требуется вычислить ее интеграл . Составим интегральную сумму для f(x) на сегменте [a,b] . Для этого разобьем сегмент [a,b] на n равных между собой частей с помощью точек: x1, x2, … , xk, … , xn-1.

Если длину каждой части мы обозначим через х, так что , то для каждой точки xk будем иметь: (k=0, 1, 2, …, n).

Обозначим теперь через yk значение подынтегральной функции f(x) при то есть положим (k=0, 1, …, n).

Тогда суммы будут интегральными для функции f(x) на отрезке [a,b]. (При составлении первой суммы мы рассматриваем значения функции y=f(x) в точках, являющихся левыми концами частичных сегментов, а при составлении второй суммы – в точках, являющихся правыми концами этих сегментов.)

По определению интеграла имеем:

и

Поэтому в качестве приближенного значения естественно взять интегральную сумму ,т.е. положить:

т.е (1)

и (1′)

Эти приближенные равенства называются формулами прямоугольников.

В том случае, когда f(x) , формулы (1) и (1’) с геометрической точки зрения означают, что площадь криволинейной трапеции aABb, ограниченной дугой кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b, принимается приближенно равной площади ступенчатой фигуры, образованной из n прямоугольников с основаниями и высотами: y, y1, y2, …, yn-1 – в случае формулы (1) (рис.8) и y1, y2, y3, …, yn – в случае формулы (1′) (рис.9).

Исходя из приведенного выше геометрического смысла формул (1) и (1′) способ приближенного вычисления определенного интеграла по этим формулам принято называть методом прямоугольников.

Всякое приближенное вычисление имеет определенную ценность лишь тогда, когда оно сопровождается оценкой допущенной при этом погрешности. Поэтому формулы прямоугольников будут практически пригодны для приближенного вычисления интегралов лишь в том случае, если будет существовать удобный способ оценки получающейся при этом погрешности (при заданном n), позволяющий к тому же находить и число частей n разбиения сегмента, гарантирующее требуемую степень точности приближенного вычисления.

Будем предполагать, что функция f(x) имеет ограниченную производную на сегменте [a, b], так что существует такое число М>0, что для всех значений х из [a, b] выполняется неравенство |f'(x)|M. Качественный смысл этого неравенства заключается в том, что скорость изменения значения функции ограничена. В реальных природных системах это требование практически всегда выполнено. В этих условиях абсолютная величина погрешности Rn, которую мы допускаем, вычисляя интеграл по формуле прямоугольников может быть оценена по формуле [27]:

|Rn| M(b-a) 2 /2n (2)

При неограниченном возрастании n выражение M(b-a) 2 /2n, а следовательно, и абсолютная величина погрешности Rn будет стремиться к нулю, т.е. точность приближения будет тем больше, чем на большее число равных частей будет разделен сегмент [a, b]. Абсолютная погрешность результата будет заведомо меньше заданного числа >0, если взять

n > M(b-a) 2 /2 .

Следовательно, для вычисления интеграла с указанной степенью точности достаточно сегмент [a, b] разбить на число частей, большее числа M(b-a) 2 /2 . [27].

Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного интегрирования. Заметно меньшую погрешность дает другой метод – метод трапеций.

Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут формулы (3а) и (3б). Однако увеличение числа отрезков разбиения промежутка интегрирования не всегда возможно. Поэтому большой интерес представляют формулы, дающие более точные результаты при том же числе точек разбиения.

Простейшая из таких формул получается как среднее арифметическое правых частей формул (1) и (1′):

(4)

Легко усмотреть геометрический смысл этой формулы. Если на каждом отрезке разбиения дугу графика подинтегральной функции y=f(x) заменить стягивающей ее хордой (линейная интерполяция), то мы получим трапецию, площадь которой равна и следовательно, формула (4) представляет собой площадь фигуры, состоящей из таких трапеций (рис.10) . Из геометрических соображений понятно, что площадь такой фигуры будет, вообще говоря, более точно выражать площадь криволинейной трапеции, нежели площадь ступенчатой фигуры, рассматриваемая в методе прямоугольников.

Приведя в формуле (4) подобные члены, окончательно получим

(5)

Формулу (5) называют формулой трапеций.

Формулой трапеций часто пользуются для практических вычислений. Что касается оценки погрешности Rn, возникающей при замене левой части (5) правой, то доказывается, что абсолютная величина ее удовлетворяет неравенству:

(6)

где М2 – максимум модуля второй производной подинтегральной функции на отрезке [a,b], т.е.

.

Следовательно, Rn убывает при по крайней мере так же быстро, как .

Абсолютная погрешность Rn будет меньше наперед заданного числа > , если взять .

Значительное повышение точности приближенных формул может быть достигнуто за счет повышения порядка интерполяции. Одним из таких методов приближенного интегрирования является метод парабол. Идея метода исходит из того, что на частичном промежутке дуга некоторой параболы в общем случае теснее прилегает к кривой y=f(x), чем хорда, соединяющая концы дуги этой кривой, и поэтому значения площадей соответствующих элементарных трапеций, ограниченных “сверху” дугами парабол, являются более близкими к значениям площадей соответствующих частичных криволинейных трапеций, ограниченных сверху дугой кривой y=f(x), чем значения площадей соответствующих прямолинейных трапеций. Сущность метода заключается в следующем. Отрезок [a,b] делится на 2n равных частей. Пусть точки деления будут

а y, y1, …y2n – соответствующие значения подинтегральной функции на отрезке [a,b]. Произведем квадратичную интерполяцию данной подинтегральной функции на каждом из отрезков разбиения (заменим дугу графика подинтегральной функции дугой параболы с вертикальной осью) (рис.11).

Приведем без вывода формулу парабол в окончательном виде:

(7)

(Подробный вывод формулы (7) см. в [13] ).

Если подинтегральная функция f(x) имеет на отрезке [a,b] непрерывную четвертую производную, то для поправочного члена формулы (7) имеет место оценка

(8)

где М4— максимум модуля четвертой производной подинтегральной функции на отрезке [a,b].

Cравнивая между собой оценки (6) и (8), замечаем, что с увеличением n поправочный член формулы трапеций уменьшается пропорционально величине , а для формулы парабол – пропорционально величине , т.е. метод парабол сходится значительно быстрее метода трапеций, тогда как с точки зрения техники вычислений оба метода одинаковы.

Экономика. Толковый словарь. — М.: «ИНФРА-М», Издательство «Весь Мир». Дж. Блэк. Общая редакция: д.э.н. Осадчая И.М. . 2000 .

Экономический словарь . 2000 .

Смотреть что такое «ИНТЕГРИРОВАНИЕ» в других словарях:

ИНТЕГРИРОВАНИЕ — ИНТЕГРИРОВАНИЕ, в математике название, данное ряду приемов, используемых для вычисления различных ИНТЕГРАЛОВ. Интегрирование, вместе с ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ, составляет отрасль математики, называемую ИСЧИСЛЕНИЕМ … Научно-технический энциклопедический словарь

Читайте так же:  Приказ о выделении путевки

интегрирование — накопление Суммирование отдельных выборок сигнала, полученных в течение заданного промежутка времени. См. СП, GSI, LSI, MSI, postdetection , predetection , ULSI, VLSI. [Л.М. Невдяев. Телекоммуникационные технологии. Англо русский толковый словарь … Справочник технического переводчика

ИНТЕГРИРОВАНИЕ — операция отыскания неопределенного интеграла (см. Интегральное исчисление) или решения дифференциального уравнения … Большой Энциклопедический словарь

интегрирование — ИНТЕГРИРОВАТЬ [тэ], рую, руешь; анный; сов. и несов., что. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Интегрирование — Интегрирование: нахождение интеграла. процесс решения дифференциального уравнения … Википедия

интегрирование — сущ., кол во синонимов: 2 • интеграция (9) • объединение (94) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

Интегрирование — [integration] 1. Операция отыскания неопределенного интеграла, решения дифференциального уравнения. 2. Объединение … Экономико-математический словарь

интегрирование — операция отыскания неопределённого интеграла (см. Интегральное исчисление) или решения дифференциального уравнения. * * * ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ, операция отыскания неопределенного интеграла (см. Интегральное исчисление (см. ИНТЕГРАЛЬНОЕ… … Энциклопедический словарь

интегрирование — integravimas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. integration vok. Integration, f; Integrieren, n rus. интегрирование, n pranc. intégration, f … Fizikos terminų žodynas

Интегрирование — операция отыскания неопределённого интеграла (см. Интегральное исчисление). Под И. понимают также решение дифференциальных уравнений (См. Дифференциальные уравнения) … Большая советская энциклопедия

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА ДИСЦИПЛИНА МАТЕМАТИКА

1 КОМИТЕТ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ «ВОЛХОВСКИЙ АЛЮМИНИЕВЫЙ КОЛЛЕДЖ» УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ КУРСА ДИСЦИПЛИНА МАТЕМАТИКА Разработчик: Фомина Елена Анатольевна преподаватель математики и информатики Волхов

2 Учебное пособие разработано в соответствии с примерной рабочей программой по математике для курса СПО. В пособии приведено краткое изложение теоретических вопросов темы «Дифференцирование и интегрирование функции»; разбираются решения базовых задач; предлагаются задачи для самостоятельного решения, список литературы. Рассмотрена и одобрена цикловой комиссией математических и общих естественнонаучных дисциплин и специальности.. «Химическая технология неорганических веществ» Протокол от января г. УТВЕРЖДАЮ Заместитель директора по УР Т.М.Рябинина г. Председатель математических и общих естественно-научных дисциплин Борошнева Н.В. Организация-разработчик: ГБПОУ ЛО «Волховский алюминиевый колледж» Разработчик: Фомина Е.А., преподаватель ГБПОУ ЛО «Волховский алюминиевый колледж»

3 Содержание Глава. Дифференцирование функции. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Производные элементарных функций. Правила нахождения производной. Производная многочлена. Критические точки функции. 6 Выпуклость функции. Точки перегиба Связь производной и монотонности. Точки экстремума. Применение производной при исследовании функции и построения ее графика. Сложная функция. Производная сложной функции. Глава. Интегрирование функции. Первообразная и неопределенный интеграл. Правила интегрирования и таблица основных интегралов. Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование. Метод подстановки Определенный интеграл и его применение для вычисления площади криволинейной трапеции.

4 Глава. Дифференцирование функции Изучая понятие предела функции в точке, мы пришли к выводу, что существование предела связано с непрерывностью функции в точке. Предел позволяет определить, будет ли функция в точке непрерывна, или функция в точке терпит разрыв. Следующее понятие, которое мы будем изучать для функции, это понятие производной функции в точке. С помощью производной можно выяснить, на каких интервалах функции возрастает, на каких убывает; в каких точках интервала функция достигает максимального или минимального значения и т.д. С помощью производной можно представить, как будет выглядеть график функции.. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл Рассмотрим некоторую функцию f и зафиксируем на графике точку. Сделаем шаг вправо от точки и попадем в точку х. Опр. х — — называется приращением аргумента читается «дельта икс» Дав приращение аргументу, функция изменит свое значение: было значение f, стало значение f Опр. f f f — называется приращением функции читается «дельта эф в точке» Опр. Производной функции f в точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю: f f ‘ lim f -производная функции точке, читается «эф штрих в точке» ‘

5 Операция нахождения производной от данной функции называется дифференцированием. Рассмотрим физический смысл производной. Производная показывает, как быстро успевает изменяться функция вслед за изменением аргумента х. Т.к. приращение аргумента стремится к нулю шаг вправо число близкое к нулю, можно утверждать, что производная функции в точке это мгновенная скорость изменения функции. Для рисунка производная функции f в точке больше, чем производная функции g, т.к f > g. А производная функции t, график которой из себя представляет прямую, в точке равна нуль, т.к. давая приращение аргументу х-, функция не меняется, т.е. ее приращение равно нулю: t t t. Рассмотрим геометрический смысл производной. Дав приращение аргументу, мы по графику из точки А попадем в точку В. Отрезок АВ называется секущей. Если приращение стремится к нулю, то секущая стремится занять положение прямой АС, которая имеет только одну общую точку с кривой, и называется касательной. f tgα — тангенс угла наклона секущей AB к положительному направлению оси ОХ.

6 Учитывая определение производной и тот факт, что секущая стремится занять положение касательной, можно утверждать, что производная функции в точке это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке. Касательная в точке показывает направление движения функции. Таким образом, с помощью линейки, карандаша и транспортира мы можем найти производную функции в точке f’, выполнив следующие действия:. Построить касательную к графику в точке. Измерить транспортиром α — угол наклона касательной к положительному направлению оси ОХ. Найти тангенс угла наклона tgαf’ Вопросы и задачи для самостоятельного решения. Перерисовать чертеж и построить в указанных точках касательные.. Какому углу касательной соответствует производная равная нулю?. Для каких углов касательной производная принимает положительные значения?. Для каких углов касательной производная принимает отрицательные значения?. Может ли производная не существовать в точке, чему в этом случае равен угол наклона касательной? 6

7 6. Заполнить таблицу, использую точки графика. В каких точках производная положительная точки графика В каких точках производная отрицательная В каких точках производная равна нулю В каких точках производная не существует. Производные элементарных функций Для того чтобы найти производную функции в точке, необходимо воспользоваться определением производной. f f ‘ lim Т.е. следует оценить приращение аргумента, приращение функции, найти предел. Рассмотрим задачу. Задача. Найти производную функции в точке х f f f f f lim f + lim lim lim + lim +

8 Ответ: f Для элементарных функций существую формулы для нахождения производной в произвольной точке. Мы не будем выводить эти формулы, научимся их применять при решении задач. Формулы производных элементарных функций. k, kconst — производная константы, равна нулю Пример:. — производная функции х n n. n — производная степенной функции Пример: ; При дифференцировании степенной функции степень понижается.. a ln a a — производная показательной функции Пример: ln ; ln. e ln e — производная экспоненциальной функции равна натуральному логарифму е, 6. log a — производная логарифмической функции ln a Пример: log ; lg, т.к. log lg ln ln. ln — производная натурального логарифма. Производные тригонометрических функций sin tg cos cos cos sin ctg sin. ;

Читайте так же:  Пособия по безработице для инвалидов

9 Рассмотрим решение задач. Задача. Найти производные функций в указанных точках А В ln ln log log С 6 sin 6 sin 6 ctg ctg ctg Задача. Найти производные степенных функций

10 6 6 6 Вопросы и задачи для самостоятельного решения Задача. Найти значение производной функции в точке 6 ; ; ; 6 ; ; e ; log ln ; sin ; cos ; 6 tg ; ctg Задача. Найти производную степенной функции ; ; 6 ; ; ;

11 . Правила нахождения производной Имея элементарные функции f и g, четыре основные алгебраические операции сложение, вычитание, произведение и деление можно построить другие функции: f f + g ; f — g; f g ; g В этом случае для нахождения производной будем использовать следующие правила:. Правило вынесения постоянного коэффициента из под знака производной. kf’k f’, kconst — коэффициент можно выносить из под знака производной. Пример: ‘ ‘ k, f. Правила для нахождения производной суммы разности: f ± g’f’ ±g’ — производная суммы разности равна сумме разности производных Пример: + sin ‘ ‘ + sin ‘ + cos cos Пример: log ‘ ‘ log ‘ ln. Правила для нахождения производной произведения: f g ‘ f ‘ g + f g’ — производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую функцию и первой функции на производную второй функции: f g’ f ‘ g + f g’ — краткая формула

12 Пример:? ‘ cos sin cos sin cos ‘ cos cos ‘ ‘ cos + +. Правила для нахождения производной дроби: g g f g f g f — производная дроби равна дроби, числитель которой равен разности произведений производной числителя на знаменатель и числитель на производную знаменателя, а знаменатель дроби равен квадрату знаменателя. Пример:? e g g f g f g f ‘ ‘ e e e e e. Производная многочлена Пусть функция задана в виде многочлена n-й степени. Пример: — многочлен первой степени + — многочлен второй степени многочлен пятой степени

13 Для нахождения производной многочлена n-й степени будем использовать следующие правила и формулы: правило перехода от производной суммы или разности к сумме или разности производных: f±g’f’± g’ правило вынесения коэффициента из под знака производной: kf’k f’, kconst формулу для нахождения производной постоянной функции: С’, Cconst формулу для нахождения производной функции : ‘ формулу для нахождения производной степенной функции n n n Пример: ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ + ‘ ‘ ‘ + ‘ ‘ ‘ ‘ + ‘ + 6 ‘ + ‘ ‘ + Пусть функция из себя представляет дробно-рациональную функцию, т.е. задана в виде дроби, в которой числитель и знаменатель это многочлены определенной степени. Пример: Для нахождения производной дробно-рациональной функции к перечисленным правилам добавляется правило нахождения производной дроби: f f g f g g g

14 Пример: ‘ ‘ + Вопросы и задачи для самостоятельного решения Задача. Используя правила дифференцирования, найти производные А ‘ ; tg ‘ ; ‘ В 6 + ‘ ; e + ‘ ; ctg + ln ‘ С cos ‘ log ; sin ; Д sin ; ln ; tg Задача. Найти производную функции, заданной в виде многочлена А + ‘ В + ‘ С ‘ Задача. Найти производную дробно-рациональной функции + +

15 . Критические точки функции Критическими точками функции называют точки, в которых производная равна нулю или не существует. Рассмотрим оба случая:. Производная функции равна нулю, f ‘ Т.к, производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке, то производная равна нулю там, где тангенс угла наклона касательной равен нулю: f ‘ tgα. Известно, что тангенс нуля равен нулю tgº, т.е. касательная должна быть горизонтальной. В А С Точка А точка максимума, имеет горизонтальную касательную Точка В точка минимума, имеет горизонтальную касательную Точка С точка перегиба с горизонтальной касательной. Производная не существует в двух случаях: А Производная f ‘ не существует для тех точек, в которых касательная вертикальная линия, т.е. угол наклона касательной по отношению к положительному направлению оси ОХ равен º. Т.к, производная функции в точке равна тангенсу угла наклона f ‘tgα, а tgº- не существует, то, следовательно, производная не существует. В Производная f ‘ не существует для тех точек, в которых можно провести D E F

16 две касательные, т.е. нет однозначной производной. Представим эти точки на графике. Точка D это угловая точка, в этой точке можно построить две различные касательные. Точка E это точка возврата, в этой точке можно построить две касательные, которые сливаются в одну вертикальную касательную. Точка F это точка перегиба с вертикальной касательной.6 Выпуклость функции. Точки перегиба. График функции на интервале имеет направление выпуклости вверх, если график функции располагается ниже касательной, проведенной в любой точке интервала График функции на интервале имеет направление выпуклости вниз, если график функции располагается выше касательной, проведенной в любой точке интервала. Точки перегиба это точки, в которых меняется направление выпуклости. C E B F A X D Y Пример: Для рисунка имеем Направление выпуклости вверх: A;B, D;E, F,Y Направление выпуклости вниз: X;A, B;C, C,D, E,F A, B, D, E, F точки перегиба. Самостоятельно: определить для рисунка, в каких точках производная равна нулю, а в каких не существует. 6

17 . Связь производной и монотонности Теорема. Функция на интервале возрастает тогда и только тогда, когда производная на этом интервале положительна: f ‘ > f Пояснение: Для возрастающей функции угол наклона касательной лежит в интервале от до градусов I четверть, в этом интервале тангенс принимает только положительные значения, следовательно, производная тоже. Теорема. Функция на интервале убывает тогда и только тогда, когда производная на этом интервале отрицательна: f ‘ , функция на интервале от — до возрастает ‘- — . Опр. Криволинейной трапецией будем называть фигуру, ограниченную графиком функции f, осью ОХ и вертикальными прямыми a и b. На рисунке изображена криволинейная трапеция ABCD. A B f D a C b Теорема: Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу функции f на интервале а;b S кр b b. трап f d F F b F a a a Задача. На интервале от до для функции построить криволинейную трапецию и найти ее площадь. Решение. Найдем точки для построения графика функции — -,

30 S ABCD d ln ln ln ln ln Вопросы и задачи для самостоятельного решения Задача. Найти определенный интеграл d sin d 6 d cos d Задача. Построить криволинейную трапецию для функции на интервале от до. Найти площадь криволинейной трапеции.

31 Список литературы Алимов Ш. А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа базовый и углубленный уровни. классы. М. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия базовый и углубленный уровни. классы. М. Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. М. Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. М. Башмаков М. И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. М. Башмаков М. И. Математика. Электронный учеб.-метод. комплекс для студ. Учреждений сред. проф. образования. М. Башмаков М. И. Математика базовый уровень. класс. М. Башмаков М. И. Математика базовый уровень. класс. М. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа, геометрия. класс. М. Башмаков М. И. Математика базовый уровень. класс. Сборник задач: учеб. пособие. М. Богомолов Н.В. Математика для ссузов — М. Дрофа, Богомолов Н.В. Сборник задач по математике _ М.: Дрофа,.

Читайте так же:  Возврат автозапчасти

Интегрирование функций. Наглядно-раздаточное пособие

Аннотация к книге «Интегрирование функций. Наглядно-раздаточное пособие»

Основная задача наглядного пособия — закрепить и частично расширить сведения, полученные школьниками на уроках математики. Сжатые теоретические сведения, ключевые формулы, графики помогут школьникам быстро сориентироваться в материале, проанализировать и выбрать верное решение. Наглядное пособие будет полезно учащимся при подготовке к контрольным, самостоятельным работам и подготовке к ЕГЭ.

Мы пришлем письмо о полученном бонусе, как только кто-то воспользуется вашей рекомендацией. Проверить баланс всегда можно в «Личном пространстве»

Мы пришлем письмо о полученном бонусе, как только кто-то воспользуется вашей ссылкой. Проверить баланс всегда можно в «Личном пространстве»

Первообразная. Неопределенный интеграл. Правила интегрирования. Таблица интегралов. Примеры решения задач

Определение 1 . Функцию F (x) , определенную на интервале (a, b), называют первообразной функции f (x) , определенной на интервале (a, b), если для каждого выполнено равенство

Например, из справедливости равенства

вытекает, что функция F (x) = sin 2x является первообразной функции f (x) = 2 cos 2x .

Замечание . Функция F (x) = sin 2x не является единственной первообразной функции f (x) = 2 cos 2x , поскольку функция F (x) = sin 2x + 10 , или функция F (x) = sin 2x – 3 , или функции вида F (x) = sin 2x + c , где c – любое число, также являются первообразными функции f (x) = 2 cos 2x .

Справедлива следующая теорема, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики.

Теорема 1 . Если функция F (x) является первообразной функции f (x) на интервале (a, b) , то любая другая первообразная функции f (x) на интервале (a, b) имеет вид

где c – некоторое число.

Неопределенный интеграл

Определение 2 . Множество всех первообразных функции f (x) называют неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначают

Обозначение (1) читается так: «Неопределенный интеграл от функции f (x) по dx » .

Если F (x) является первообразной f (x) , то в силу теоремы 1 смысл формулы (1) заключается в следующем:

Однако для упрощения формулу (2) принято записывать в виде

подразумевая, но не указывая специально, что c – любое число.

В формуле (3) функцию f (x) называют подынтегральной функцией, выражение f (x) dx нызывают подынтегральным выражением, а число c называют постоянной интегрирования.

Операцию вычисления (взятия) интеграла по известной подынтегральной функции называют интегрированием функции.

Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле

Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил, которые непосредственно вытекают из правил вычисления производных.

Правило 1 (интеграл от произведения числа на функцию) . Справедливо равенство

где k – любое число.

Другими словами, интеграл от произведения числа на функцию равен произведению этого числа на интеграл от функции.

Правило 2 (интеграл от суммы функций) . Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

Правило 3 (интеграл от разности функций) . Интеграл от разности функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций.

Правило 4 (интегрирование при помощи замены переменной) . Из справедливости формулы

Пособие по интегрированию

Учебное пособие «Приложения кратных и криволинейных интегралов» разработано и подготовлено к изданию на кафедре «Высшая и прикладная математика» Уральского государственного университета путей сообщения (УрГУПС) доцентом кафедры, канд. пед. наук Гниломедовым П.И. Изданию присвоен номер ISBN 978-5-94614-316-5, материал пособия ориентирован на обучение студентов технических специальностей и направлений подготовки по математике в соответствии с ФГОС ВПО (рис. 1).

Рис. 1. Обложка издания

Содержание пособия распределено по двум главам: «Кратные интегралы», «Криволинейные интегралы». Отдельной главой представлены варианты заданий типового расчета.

Первая глава включает разделы: «Двойной интеграл и его вычисление» и «Тройной интеграл и его вычисление», содержащие основные теоретические сведения из соответствующих разделов курса высшей математики. После каждого раздела расположен параграф, в котором подробно рассматриваются геометрические приложения соответствующего интеграла. В конце главы отдельным разделом представлен параграф «Механические приложения кратных интегралов», также содержащий большое число примеров использования приемов кратного интегрирования и их использования в физических задачах по механике.

Аналогично структурирована и вторая глава, в которой содержатся разделы: «Криволинейный интеграл I рода», «Криволинейный интеграл II рода», соответствующие параграфы с примерами геометрических приложений интегралов. В конце главы также представлен параграф «Механические приложения криволинейных интегралов».

В разделе «Варианты заданий типового расчета» содержаться тридцать вариантов заданий, выполнение которых позволяет студентам успешно отрабатывать и закреплять изучаемый материал. Каждый вариант содержит восемь задач и имеет сквозную структуру, т.е. включает задачи по всем изученным разделам.

Отличительной особенностью данного пособия является богатый иллюстрируемый материал, поскольку практика показывает, что разделы интегрального исчисления, в том числе разделы, рассматривающие кратное интегрирование, интегрирование по дуге, вызывают значительные затруднения в понимании и, соответственно, в освоении как теоретических положений, так и практических приемов решения задач. Это связано, прежде всего, со значительными затруднениями формирования понятийного аппарата интегрального исчисления. Одной из причин является недостаточно прорабатываемые взаимосвязи между абстрактно-наглядным (чертеж, рисунок) и абстрактно-логическим (аналитическое выражение) образами представления основных понятийных объектов как теоретического материала, так и содержания математических задач [1].

В связи с этим, в пособии большое внимание уделено максимально наглядному сопровождению всех теоретических положений, основных типов задач, приемов кратного интегрирования и интегрирования по дуге на плоскости и в пространстве. Всего в пособии представлено сорок высококачественных рисунков в векторной графике, практически ко всем основным теоретическим положениям, типам задач и приемам интегрирования, рассматриваемых в пособии.

Приведем пример наглядного сопровождения теоретического материала из параграфа «Геометрическое приложение двойного интеграла» (рис. 2).

Рис. 2. Геометрический смысл двойного интеграла (объем тела)

Теоретическое обоснование использования двойного интеграла для определения объема тела, «продублированное» наглядным образом, позволяет сформировать аналитическое выражение .

В качестве примера органичного сочетания приемов интегрирования и их наглядного сопровождения приведем фрагменты решения задачи из параграфа «Геометрическое приложение криволинейного интеграла I рода» и сопровождающий рисунок (рис. 3)

Задача. Найти площадь части цилиндрической поверхности , заключенной между плоскостью xOy и поверхностью сферы .

Перейдем в полярную систему координат с помощью соотношений

.

Тогда уравнения для цилиндрической поверхности

,

для сферической поверхности

… тогда площадь половины поверхности

.

Окончательно площадь всей цилиндрической поверхности .

Большое число подробно рассмотренных примеров решения задач и предложенный объем заданий для самостоятельного изучения, а также, задания типового расчета, дает возможность организовать как практические аудиторные занятия, так и самостоятельную работу студентов по освоению основных методов интегрирования, а уровень изложения теоретического материала позволяет использовать его в качестве лекционного.

Работа получила положительную рецензию канд. физ.-мат. наук, старшего научного сотрудника отдела прикладных проблем управления ИММ УрО РАН И.Н. Кандобы и канд. физ.-мат. наук, доцента кафедры «Высшая и прикладная математика» Уральского государственного университета путей сообщения (УрГУПС) П.П. Скачкова.

[1]Гурова Л.Л. Психология мышления. – М.: ПЕР СЭ, 2005. – 136 с. ISBN 5-9292-0134-Х